Gradually varied surface とは

数学では、徐々に変化するサーフェスは特殊なタイプのデジタルサーフェスです。これは、2Dデジタル空間(デジタルジオメトリを参照)から順序付けされたセットまたはチェーンまでの機能です。
徐々に変化する関数は、 A 1 < < A m {\displaystyle A_{1}<\cdots A i {\displaystyle A_{i}} が実数であるデジタル空間 Σ {\displaystyle \Sigma } から { A 1 , , A m } {\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}} への関数である。 xとyが Σ {\displaystyle \Sigma } の2つの隣接点である場合、 f ( x ) = A i {\displaystyle f(x)=A_{i}} f ( y ) = A i {\displaystyle f(y)=A_{i}} f ( x ) = A i + 1 {\displaystyle f(x)=A_{i+1}} または A i 1 {\displaystyle A_{i-1}} と仮定します。
1986年にAzriel Rosenfeldによって提案された、デジタル空間における連続関数の概念(デジタル連続関数と呼ぶことができる)は、デジタル点における値(整数)が、隣人。言い換えれば、xとyがデジタル空間内の2つの隣接点である場合、| f(x)-f(y)| ≤1。
したがって、徐々に変化する関数は、デジタル連続関数より一般的であると定義されていることがわかります。徐々に変化する機能は、1989年にL. Chenによって定義された。
上記の関数に関連する拡張定理は、Rosenfeld(1986)によって述べられ、Chen(1989)によって完成された。この定理は次のように述べている: D Σ {\displaystyle D\subset \Sigma } f : D { A 1 , , A m } {\displaystyle f:D\rightarrow \{A_{1},\dots ,A_{m}\}} を考えてみよう。 f {\displaystyle f} の徐々に変化する拡張 F {\displaystyle F} の存在のための必要十分条件は、 D {\displaystyle D} の点 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} の各対について、 f ( x ) = A i {\displaystyle f(x)=A_{i}} f ( y ) = A j {\displaystyle f(y)=A_{j}} と仮定すると、 | i j | d ( x , y ) {\displaystyle |i-j|\leq d(x,y)} d ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} の間の(デジタル)距離である。
徐々に変化するサーフェスは、グラフの準同型性と直接関係しています。