Reversible-jump Markov chain Monte Carlo とは

計算統計では、可逆ジャンプマルコフ連鎖モンテカルロは、標準的なマルコフ連鎖モンテカルロ(MCMC)方法論の拡張であり、様々な次元の空間上の事後分布のシミュレーションを可能にする。したがって、モデル内のパラメータの数が分からなくてもシミュレーションが可能です。
レッツ
n m N m = { 1 , 2 , , I } {\displaystyle n_{m}\in N_{m}=\{1,2,\ldots ,I\}\,}
M = n m = 1 I R d m {\displaystyle M=\bigcup _{n_{m}=1}^{I}\mathbb {R} ^{d_{m}}} 次元数 d m {\displaystyle d_{m}} がモデル n m {\displaystyle n_{m}} に依存するパラメータ空間である。モデル表示は有限である必要はない。定常分布は、値 ( m , n m ) {\displaystyle (m,n_{m})} を取る ( M , N m ) {\displaystyle (M,N_{m})} の共役事後分布である。
提案 m {\displaystyle m’} m {\displaystyle m} u {\displaystyle u} のマッピング g 1 m m {\displaystyle g_{1mm’}} で構築することができ、ここで u {\displaystyle u} は密度 q {\displaystyle q} のランダム成分 U {\displaystyle U} したがって、状態 ( m , n m ) {\displaystyle (m’,n_{m}’)} への移動は以下のように定式化することができる。
( m , n m ) = ( g 1 m m ( m , u ) , n m ) {\displaystyle (m’,n_{m}’)=(g_{1mm’}(m,u),n_{m}’)\,}
関数
g m m := ( ( m , u ) ( ( m , u ) = ( g 1 m m ( m , u ) , g 2 m m ( m , u ) ) ) ) {\displaystyle g_{mm’}:={\Bigg (}(m,u)\mapsto {\bigg (}(m’,u’)={\big (}g_{1mm’}(m,u),g_{2mm’}(m,u){\big )}{\bigg )}{\Bigg )}\,}
1対1で微分可能でなければならず、非ゼロのサポートが必要です。
s u p p ( g m m ) {\displaystyle \mathrm {supp} (g_{mm’})\neq \varnothing \,}
逆関数が存在するようにする
g m m 1 = g m m {\displaystyle g_{mm’}^{-1}=g_{m’m}\,}
それは微分可能です。したがって、 ( m , u ) {\displaystyle (m,u)} ( m , u ) {\displaystyle (m’,u’)} は等しい次元でなければならず、これは次元の基準
d m + d m m = d m + d m m {\displaystyle d_{m}+d_{mm’}=d_{m’}+d_{m’m}\,}
d m m {\displaystyle d_{mm’}} u {\displaystyle u} の次元であるところで満たされる。これは、ディメンションマッチングと呼ばれます。
R d m R d m {\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{m}}\subset \mathbb {R} ^{d_{m’}}} の場合、寸法整合条件は、
d m + d m m = d m {\displaystyle d_{m}+d_{mm’}=d_{m’}\,}
〜と
( m , u ) = g m m ( m ) . {\displaystyle (m,u)=g_{m’m}(m).\,}
受け入れ確率は
a ( m , m ) = min ( 1 , p m m p m f m ( m ) p m m q m m ( m , u ) p m f m ( m ) | det ( g m m ( m , u ) ( m , u ) ) | ) , {\displaystyle a(m,m’)=\min \left(1,{\frac {p_{m’m}p_{m’}f_{m’}(m’)}{p_{mm’}q_{mm’}(m,u)p_{m}f_{m}(m)}}\left|\det \left({\frac {\partial g_{mm’}(m,u)}{\partial (m,u)}}\right)\right|\right),}
ここで、 | | {\displaystyle |\cdot |} は絶対値、 p m f m {\displaystyle p_{m}f_{m}} は関節事後確率
p m f m = c 1 p ( y | m , n m ) p ( m | n m ) p ( n m ) , {\displaystyle p_{m}f_{m}=c^{-1}p(y|m,n_{m})p(m|n_{m})p(n_{m}),\,}
ここで c {\displaystyle c} は正規化定数です。