Implicit surface とは

数学では、陰的な表面は、方程式によって定義されるユークリッド空間の表面です
F ( x , y , z ) = 0. {\displaystyle F(x,y,z)=0.}
暗黙のサーフェスは、3つの変数の関数のゼロ集合です。暗黙的とは、方程式がxまたはyまたはzについて解かれないことを意味します。
関数のグラフは、通常式 z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} で記述され、明示的表現と呼ばれます。表面の第3の重要な記述はパラメトリックな記述である: ( x ( s , t ) , y ( s , t ) , z ( s , t ) ) {\displaystyle (x(s,t),y(s,t),z(s,t))} 、表面点のx、y、z座標は共通パラメータ s , t {\displaystyle s,t} に依存する3つの関数 x ( s , t ) , y ( s , t ) , z ( s , t ) {\displaystyle x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)} で表される。一般的に表現の変更は、明示的表現 z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} が与えられるときにのみ単純である: z f ( x , y ) = 0 {\displaystyle z-f(x,y)=0} (暗黙的)、 ( s , t , f ( s , t ) ) {\displaystyle (s,t,f(s,t))} (パラメトリック)。
例:
 平面 x + 2 y 3 z + 1 = 0. {\displaystyle x+2y-3z+1=0.} x 2 + y 2 + z 2 4 = 0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.} トーラス ( x 2 + y 2 + z 2 + R 2 a 2 ) 2 4 R 2 ( x 2 + y 2 ) = 0. {\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.} 属2の表面: 2 y ( y 2 3 x 2 ) ( 1 z 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2 ( 9 z 2 1 ) ( 1 z 2 ) = 0 {\displaystyle 2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2}-1)(1-z^{2})=0} (図を参照)。回転面 x 2 + y 2 ( ln ( z + 3.2 ) ) 2 0.02 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0.02=0} (図表のワイングラス参照)。
平面、球、トーラスの場合、単純なパラメトリック表現が存在する。これは第4の例では当てはまりません。
暗黙の関数定理は、x、y、またはzについて方程式 F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} を(少なくとも暗黙的に)解くことができる条件を記述する。しかし、一般的に、その解決策は明示されていないかもしれません。この定理は、面の本質的な幾何学的特徴、すなわち接平面、面法線、曲率(以下を参照)の計算の鍵です。しかし、彼らには本質的な欠点があります。視覚化が困難です。
F ( x , y , z ) {\displaystyle F(x,y,z)} がx、y、zの多項式である場合、サーフェスは代数と呼ばれます。例5は非代数的です。
視覚化の困難さにもかかわらず、暗示的な表面は、理論的に(例えば、スタイナー表面)、そして実際に興味深い表面(以下を参照)を生成する比較的単純な技術を提供する。