Square-free polynomial とは

数学では、二乗自由多項式は、非単位因子の任意の二乗を係数としないフィールド(またはより一般的には、一意の分解領域)上で定義される多項式です。フィールドkに対する単変量多項式の重要なケースでは、これは正の次数の多項式 b k [ X ] {\displaystyle b\in k[X]} ごとに f k [ X ] {\displaystyle f\in k[X]} が正方形でないことを意味します。物理学および工学のアプリケーションでは、平方根のない多項式は一般に繰り返し根のない多項式と呼ばれます。このような多項式は分離可能と呼ばれますが、分離可能な完全なフィールドには平方がないものと同じです。
多項式の二乗自由分解または二乗自由因子分解は、二乗自由因子のべき乗への因子分解である
f = a 1 a 2 2 a 3 3 a n n = k = 1 n a k k {\displaystyle f=a_{1}a_{2}^{2}a_{3}^{3}\cdots a_{n}^{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{k}\,}
1と等しくないakのものは、対になるような二等辺三角形のない多項式である。あるフィールド内の係数を有する非ゼロ多項式はすべて、非ゼロ定数による係数の乗算まで一意的である平方自由因子分解を許容する。平方和のない因数分解は、既約因子への完全因数分解よりもはるかに計算が容易であり、部分分数分解と有理数分の象徴的統合に関しては、完全な因数分解が本当に必要でない場合にしばしば好ましい。平方自由因子分解は、コンピュータ代数システムで実施される多項式分解アルゴリズムの第一歩である。したがって、平方自由分解のアルゴリズムは、コンピュータ代数において基本的なものです。
1つのフィールド上の単変量多項式の場合、多項式の任意の複数の因子は、fおよびその形式的導関数f 'の自明でない共通因子を導入するので、fが正方形でないための十分な条件は、このようなフィールド上では、既約多項式はすべて分離可能であり、したがって、その導関数と相補的であるため、この条件は特性0のフィールドにわたって、またはより一般的には完全なフィールドにわたって必要である。
特性0の分野では、その微分を伴うGCDによる f {\displaystyle f} の商は、上記の平方自由分解における a i {\displaystyle a_{i}} の積である。非ゼロの特性pの完全なフィールドにわたって、この商は、iがpの倍数でないような a i {\displaystyle a_{i}} の積である。さらにGCDの計算と正確な除算を行うことで、平方和のない因子分解を計算することができます(無限因子分解を参照)。特徴的なゼロでは、より良いアルゴリズムが知られており、Yunのアルゴリズムが以下に説明される。その計算上の複雑さは、せいぜい、入力多項式とその派生物のGCD計算の2倍です。より正確には、 T n {\displaystyle T_{n}} が次数 n {\displaystyle n} の2つの多項式とGCDによるこれらの多項式の商のGCDを計算するのに必要な時間である場合、 2 T n {\displaystyle 2T_{n}} は平方根を計算するのに必要な時間の上限です分解。
多変量多項式の平方分解の計算のためのアルゴリズムも知られている。