Finite volume method for one-dimensional steady state diffusion とは

計算流体力学における有限体積法は、物理的保存法則から生じる偏微分方程式の離散化手法です。これらの方程式は、性質が異なることがあります。楕円形、放物線形、または双曲形である。最初に十分に文書化された使用は、Los AlamosのEvans and Harlow(1957)によって行われました。定常拡散の一般的な方程式は、一時的な対流項を削除することによって、プロパティΦの一般的な輸送方程式から簡単に導き出すことができます。
一般的な輸送方程式は次のように定義できます。
ρ ϕ t + div ( ρ ϕ υ ) = div ( Γ grad ϕ ) + S ϕ {\displaystyle {\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )=\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }}
ここで、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 ϕ {\displaystyle \phi } はすべての流体の流れの保存的形式、 Γ {\displaystyle \Gamma } は拡散係数、 S {\displaystyle S} はソース項である div ( ρ ϕ υ ) {\displaystyle \operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )} 流体要素(対流)から ϕ {\displaystyle \phi } の正味流速、 div ( Γ grad ϕ ) {\displaystyle \operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )} は拡散による ϕ {\displaystyle \phi } の増加率、 S ϕ {\displaystyle S_{\phi }} は発生源による ϕ {\displaystyle \phi } の増加率です。
ρ ϕ t {\displaystyle {\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}} は流動要素の ϕ {\displaystyle \phi } の増加率(一過性)であり、
一過性および対流項がゼロになる条件:
 定常低レイノルズ数
一次元の定常状態拡散のために、一般輸送方程式は次のように減少する。
 
div ( Γ grad ϕ ) + S ϕ = 0 {\displaystyle \operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0}
または、
 
d d x ( Γ grad ϕ ) + S ϕ = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0}
 
以下のステップは、1次元の定常状態拡散を理解するステップである。
ステップ1グリッド生成
 小さなドメインの等しい部分でドメインを分割する。各小領域の間に節点を置く。これらのノードポイントを使用して制御ボリュームを作成します。物理的境界が制御ボリュームの境界と一致するように、エッジ付近に制御ボリュームを作成する(図1)一般的な制御ボリュームに対して一般的な節点 'P'を仮定する。東と西の隣接節点はEで識別され、 (図2)WP、wP、PeとPE間の距離は δ x W P {\displaystyle \delta x_{WP}} で識別され、 δ x w P {\displaystyle \delta x_{wP}} δ x P e {\displaystyle \delta x_{Pe}} および δ x P E {\displaystyle \delta x_{PE}} (図4)
ステップ2次元離散化
 有限体積法の要点は、既知の離散化である制御量全体の支配方程式を統合することです。方程式を離散化する節点。ノード点Pでの制御量は、(図3)
Δ V d d x ( Γ d ϕ d x ) d V + Δ V S d V = ( Γ A d ϕ d x ) e ( Γ A d ϕ d x ) w + S Δ V = 0 {\displaystyle \int _{\Delta V}{\frac {d}{dx}}\left(\Gamma {\frac {d\phi }{dx}}\right)dV+\int _{\Delta V}SdV=\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{e}-\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{w}+{\overrightarrow {S}}\Delta V=0} どこで
A {\displaystyle A} は制御体積面の断面積断面(ジオメトリ)、 Δ V {\displaystyle \Delta V} は体積、 S {\displaystyle {\overrightarrow {S}}} は制御体積に対する供給源Sの平均値
 それは拡散フラックスのFickの法則 ϕ {\displaystyle \phi } が東の面から西の面に向かって流れて制御量にフラックスが生じることを示している。 ϕ {\displaystyle \phi } 拡散係数と d ϕ d x {\displaystyle {\frac {d\phi }{dx}}} は有用な結論を解釈するために必要である。中央差分法「1」は、拡散係数を導出するために使用されます。
Γ w = Γ W + Γ P 2 {\displaystyle \Gamma _{w}={\frac {\Gamma _{W}+\Gamma _{P}}{2}}} Γ w = Γ P + Γ E 2 {\displaystyle \Gamma _{w}={\frac {\Gamma _{P}+\Gamma _{E}}{2}}}
  d ϕ d x {\displaystyle {\frac {d\phi }{dx}}} 節点の助けを借りて、東から西への勾配が計算されます(図4)
 実際の状況では、ソース項は線形化することができる
S Δ V = S u + S p ϕ p {\displaystyle {\overrightarrow {S}}\Delta V=S_{u}+S_{p}\phi _{p}}
 方程式をマージすると
Γ e A e ( ϕ E ϕ P δ x P E ) Γ w A w ( ϕ P ϕ W δ x P E ) + ( S u + S p ϕ p ) {\displaystyle \Gamma _{e}A_{e}\left({\frac {\phi _{E}-\phi _{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\Gamma _{w}A_{w}\left({\frac {\phi _{P}-\phi _{W}}{\delta x_{PE}}}\right)+(S_{u}+S_{p}\phi _{p})}
 再編成
( Γ e δ x P E A e + Γ w δ x W P A w S p ) ϕ P = ( Γ w δ x W P A w ) ϕ W + ( Γ e δ x W P A e ) ϕ E + S u {\displaystyle \left({\frac {\Gamma _{e}}{\delta x_{PE}}}A_{e}+{\frac {\Gamma _{w}}{\delta x_{WP}}}A_{w}-S_{p}\right)\phi _{P}=\left({\frac {\Gamma _{w}}{\delta x_{WP}}}A_{w}\right)\phi _{W}+\left({\frac {\Gamma _{e}}{\delta x_{WP}}}A_{e}\right)\phi _{E}+S_{u}}
 上記の式を
a P ϕ P = a W ϕ W + a E ϕ E + S u {\displaystyle a_{P}\phi _{P}=a_{W}\phi _{W}+a_{E}\phi _{E}+S_{u}}
ステップ3:方程式の解法
 この問題を解決するためには、離散化された方程式を各ノード点で設定する必要があります。次に線形代数方程式線形方程式の系を解いて、任意の形態の行列解法によって節点での性質 ϕ {\displaystyle \phi } の分布を得る。高次の行列「2」はMATLABで解くことができます。
この方法は、2D状況にも適用できます。 2次元拡散問題の有限体積法を参照してください。