Reprojection error とは

再投影誤差は、投影された点と測定された点との間の画像距離に対応する幾何学誤差である。これは、3D点の推定 X ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {X} }}} が点の真の投影を再現する程度を定量化するために使用されます x {\displaystyle \mathbf {x} } 。より正確には、 P {\displaystyle \mathbf {P} } をカメラの投影行列、 x ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}} X ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {X} }}} 、すなわち x ^ = P X ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=\mathbf {P} \,{\hat {\mathbf {X} }}} の画像投影とする。 X ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {X} }}} の再投影誤差は d ( x , x ^ ) {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\,{\hat {\mathbf {x} }})} によって与えられ、 d ( x , x ^ ) {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\,{\hat {\mathbf {x} }})} はベクトル x {\displaystyle \mathbf {x} } x ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}} で表される画像点間のユークリッド距離を示す。
再投影誤差を最小にすることは、2つの画像間の点対応から誤差を推定するために使用することができる。 2次元から2次元の不完全な対応が与えられたとする { x i x i } {\displaystyle \{\mathbf {x_{i}} \leftrightarrow \mathbf {x_{i}} ‘\}} 。我々はホモグラフィ H ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {H} }}} と完璧にマッチした点 x i ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x_{i}} }}} x ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i}’} のペア、すなわち x i ^ = H ^ x ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {x_{i}} }}’={\hat {H}}\mathbf {{\hat {x}}_{i}} } を満たす点を求めて、
i d ( x i , x i ^ ) 2 + d ( x i , x i ^ ) 2 {\displaystyle \sum _{i}d(\mathbf {x_{i}} ,{\hat {\mathbf {x_{i}} }})^{2}+d(\mathbf {x_{i}} ‘,{\hat {\mathbf {x_{i}} }}’)^{2}}
したがって、対応点は世界点の不完全な像として解釈され、再投影誤差は真の像投影からのずれを定量化する x i ^ , x i ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x_{i}} }},{\hat {\mathbf {x_{i}} }}’}