Shearlet とは

適用された数学的解析では、シャーレットは多変量問題のクラスで異方性の特徴を効率的に符号化することを可能にする多スケールのフレームワークである。もともと、シャーレットは2006年に導入され、機能の疎な近似だけでなく解析も行われました f L 2 ( R 2 ) {\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})} 。等価オブジェクトとしてのウェーブレットは、そのような現象を捕捉することができないので、多変量​​関数は、典型的に画像のエッジのような異方性の特徴によって支配されるという事実に対応するために、ウェーブレットの自然な拡張である。
シャーレットは、いくつかの生成関数に適用される放物線スケーリング、せん断および平行移動によって構築されます。細かいスケールでは、本質的に、長さ²幅のパラボリックスケーリング則に従って、スキニーと方向性の尾根内でサポートされます。ウェーブレットと同様に、シャーレットはアフィングループから発生し、忠実な実装に至る連続体とデジタル状況の統一的な処理を可能にする。それらは L 2 ( R 2 ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})} の正規直交基盤を構成するものではないが、依然として任意の機能の安定した拡張を可能にするフレームを形成する f L 2 ( R 2 ) {\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}
シャーレットの最も重要な特性の1つは、漫画のような関数 f {\displaystyle f} の最適な疎な近似(最適性の意味で)を提供するという事実である。イメージング・サイエンスでは、漫画のような関数が異方性の特徴のモデルとして機能し、 [ 0 , 1 ] 2 {\displaystyle [0,1]^{2}} でコンパクトにサポートされ、 C 2 {\displaystyle C^{2}} 離散した曲率を持つ閉じた区分 C 2 {\displaystyle C^{2}} 特異曲線から離れている C 2 {\displaystyle C^{2}} 。シャーレットの拡張から N {\displaystyle N} 最大係数を取ることによって得られた N {\displaystyle N} -termシャーレット近似の L 2 {\displaystyle L^{2}} – 誤差の減衰率は実際にはlog-factorまで最適である:
f f N L 2 2 C N 2 ( log N ) 3 , N , {\displaystyle \|f-f_{N}\|_{L^{2}}^{2}\leq CN^{-2}(\log N)^{3},\quad N\to \infty ,}
定数 C {\displaystyle C} は特異点曲線の最大曲率と f {\displaystyle f} f {\displaystyle f^{‘}} f {\displaystyle f^{”}} の最大大きさのみに依存する。この近似率は、この種の関数に対して O ( N 1 ) {\displaystyle O(N^{-1})} のみを提供するウェーブレットの最適な N {\displaystyle N} -term近似率を大幅に改善する。
シーアレットは現在まで異方性特徴の疎な近似を提供する唯一の指向性表現システムであり、忠実な実装を可能にするという意味で連続体とデジタル領域の統一的な処理を提供する。 Shearletシステムの拡張 L 2 ( R d ) , d 2 {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d}),d\geq 2} も利用可能である。 shearletsの理論と応用の包括的なプレゼンテーションは、以下にあります: