Conformal geometric algebra とは

Conformal Geometric Algebra(CGA)は、n次元の基底空間ℝp、qからℝp+ 1、q + 1への射影写像の結果空間上に構築された幾何学的代数である。これにより、反射、回転、および平行移動を含む基本空間上の操作を、幾何学的代数の対数を使って表すことができます。点、線、面、円、球が特に自然で計算上に適した表現を得ることが分かった。
マッピングの効果は、ベーススペースの一般化された(すなわち、ゼロ曲率を含む)k-球が(k + 2) – ブレードにマップされ、ベーススペースの平行移動(またはコンフォーマルマッピング)の効果が対応するより高次の空間における回転に変換する。この空間の代数では、ベクトルの幾何学的積に基づいて、そのような変換は、非常に効率的に結合する3次元空間回転のための四元数の使用に類似した代数のサンドイッチ演算に対応する。変換を表す回転子の結果は、球、平面、円および他の幾何学的オブジェクトの表現、およびそれらを接続する方程式がすべて共変することである。幾何学的オブジェクト(k-球)は、オブジェクト上の点を表すk + 2個の線形独立ベクトルのウェッジ積として合成することができる。逆に、そのオブジェクトは、その表面にk + 2個の異なる点を表すベクトルのくさび形の繰り返し生成物として分解することができる。いくつかの交差操作はまた、整然とした代数形式を獲得する:例えば、ユークリッド基底空間ℝ3の場合、2つの球体を表す4ベクトルの双対ベクトルにウェッジ生成物を適用すると、それらの交点の3ベクトル表示の2乗が生成される。
この代数構造は効果的な計算に直接役立ちますので、射影幾何学の古典的な方法と逆のジオメトリの具体的な、操作しやすい設定の探索を容易にします。スクリュー理論の計算を表現し容易にするための効率的な構造としても使用されています。 CGAは、日常のユークリッド空間ℝ3の5次元ベクトル空間ℝ4,1への射影写像に関連して特に適用されており、これはロボット工学およびコンピュータビジョンの応用について研究されている。これは一般的に任意の擬似ユークリッド空間に適用することができ、Minkowski空間ℝ3,1の空間ℝ4,2へのマッピングは、相対論的物理学への応用のために検討されている。