Curvelet とは

カーブレットは、マルチスケールのオブジェクト表現のための非適応技術です。ウェーブレットの概念を拡張したもので、類似の分野、すなわち画像処理および科学計算において人気が高まっている。
ウェーブレットは、位置および空間周波数の両方を表す基底を使用してフーリエ変換を一般化する。 2Dまたは3D信号の場合、指向性にもローカライズされた基底関数を使用して、指向性ウェーブレット変換がさらに進められます。カーブレット変換は、方向の局所化の程度がスケールに応じて異なる点で、他の方向性ウェーブレット変換とは異なります。特に、ファインスケール基底関数は長い尾根である。スケールjでの基底関数の形状は 2 j / 2 {\displaystyle 2^{-j/2}} 2 j {\displaystyle 2^{-j}} であるため、細かい基底は正確に決定された方向性を有するスキニーリッジである。
カーブレットは、曲線が曲がった曲率を有する滑らかな曲線に沿って特異点から離れて滑らかな画像(または他の関数)を表すための適切な基礎であり、すなわち画像内のオブジェクトが最小の長さスケールを有する。このプロパティは、漫画、幾何図、およびテキストに適用されます。そのような画像をズームインすると、それらのエッジはますますまっすぐに見えるようになります。カーブレットは、より高い解像度のカーブレットを、より低い解像度のカーブレットよりも細長く定義することによって、この特性を利用します。しかし、自然な画像(写真)はこの特性を持たない。彼らはあらゆる規模で詳細を持っています。したがって、自然画像の場合、ウェーブレットがあらゆるスケールで同じアスペクト比を有する何らかの種類の指向性ウェーブレット変換を使用することが好ましい。
画像が正しいタイプである場合、カーブレットは、他のウェーブレット変換よりもかなり疎である表現を提供する。これは、 n {\displaystyle n} ウェーブレットのみを使用して表すことができる幾何学的テスト画像の最良近似を考慮し、近似誤差を n {\displaystyle n} の関数として分析することによって定量化することができる。フーリエ変換の場合、二乗誤差は O ( 1 / n ) {\displaystyle O(1/{\sqrt {n}})} のようにしか減少しません。方向性および非方向性の両方の変形を含む広範囲のウェーブレット変換に対して、二乗誤差は O ( 1 / n ) {\displaystyle O(1/n)} と減少する。カーブレット変換の基礎となる余分な仮定は、 O ( ( log n ) 3 / n 2 ) {\displaystyle O({(\log n)}^{3}/{n^{2}})} を達成することを可能にする。
離散データのカーブレット変換を計算するための効率的な数値アルゴリズムが存在する。カーブレット変換の計算コストは​​FFTの約10〜20倍であり、サイズ n × n {\displaystyle n\times n} の画像に対する O ( n 2 log n ) {\displaystyle O(n^{2}\log n)} の同じ依存性を有する。