Parareal とは

Pararealは数値解析の並列アルゴリズムであり、初期値問題の解決に使用されます。 2001年にライオンズ、マデイ、トリニチーによって導入されました。それ以来、これは最も広く研究されているパラレル・イン・タイム統合方法の1つになっています。

FEE method とは

数学では、FEE法は特別な形式の系列を高速に加算する方法です。 1990年にE. A. Karatsubaによって建設され、Siegel E {\displaystyle E} 関数、特に e x . {\displaystyle e^{x}.} 関数の高速計算を可能にするため、FEE高速E関数評価と呼ばれました。
シーゲル(Siegel)によって、「指数関数に類似する」関数のクラスには「E関数」という名前が与えられました。これらの関数の中には、超幾何関数、円柱、球関数などの特別な関数があります。
FEEを使って、次の定理を証明することは可能です
定理: y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} を超越関数、つまり指数関数、三角関数、基本代数関数、その重ね合わせ、逆関数、逆行列の重ね合わせとする。その後、
s f ( n ) = O ( M ( n ) log 2 n ) . {\displaystyle s_{f}(n)=O(M(n)\log ^{2}n).\,}
ここで、 s f ( n ) {\displaystyle s_{f}(n)} は、 n {\displaystyle n} 桁の精度で関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の計算(ビット)の複雑さであり、 M ( n ) {\displaystyle M(n)} は2 n {\displaystyle n} – ディジット整数の乗算の複雑さです。
メソッドFEEに基づくアルゴリズムには、引数の任意の値、古典的定数e、オイラー定数 γ , {\displaystyle \gamma ,} 、カタロニアとアペリ定数、超高次関数などの超越関数の素因数を高速に計算するアルゴリズムが含まれています球体、円柱(ベッセルを含む)関数、および引数とパラメータの代数的値のためのいくつかの他の関数、引数の整数値に対するリーマンゼータ関数、および関数のHurwitzζ関数また、確率の積分、フレネル積分、積分指数関数、三角法積分、および複雑な境界が近い、議論の代数値に対する他の積分のような特殊積分すなわち、最適なもの、すなわち
s f ( n ) = O ( M ( n ) log 2 n ) . {\displaystyle s_{f}(n)=O(M(n)\log ^{2}n).\,}
現在、FEEだけが、超越関数のクラス、数学的物理学の特定の特殊積分、オイラー、カタロニア語、アペリ定数などの古典的定数から関数の値を高速に計算することを可能にしています。方法FEEのさらなる利点は、FEEに基づいてアルゴリズムを並列化する可能性である。

Pairwise summation とは

数値解析では、カスケード加算とも呼ばれるペアワイズ加算は、積和演算の丸め誤差を実質的に減少させる一連の有限精度浮動小数点数を加算する手法であり、典型的にはより小さな丸め誤差を有するカハン和のような他の技法もあるが、ペアワイズ加算は対数ファクタだけでほぼ同等でありながら、はるかに低い計算コストを有している。純粋な合計と同じコスト(正確に同じ算術演算の数)。
特に、n個の数列x nの対の和は、シーケンスを2つの半分に再帰的に分割し、各半分を合計し、2つの合計を加算することによって作用する:分割および征服アルゴリズム。その最悪ケースの丸め誤差は、最大でもO(εlog n)のように漸近的に増加します。ここで、εはマシンの精度です(後述のように固定の条件数を仮定します)。これとは対照的に、和を累積する単純な手法(各x iをi = 1、…、nに対して一度に加える)は、O(εn)として最悪で成長する丸め誤差を有する。カハン和は、nとは無関係におおよそO(ε)の最悪ケース誤差を有するが、数倍の算術演算を必要とする。丸め誤差がランダムであり、特にランダムな符号がある場合、それらはランダムウォークを形成し、エラーの増加はペアごとの合計の平均 O ( ε log n ) {\displaystyle O(\varepsilon {\sqrt {\log n}})} に減少します。
加算の非常に類似した再帰的構造は、多くの高速フーリエ変換(FFT)アルゴリズムで見られ、それらのFFTの同じ遅い丸め積分の原因となります。
NumPyとJuliaテクニカルコンピューティング言語のデフォルトの加算アルゴリズムは、ペアワイズ加算です(どちらの場合も、大きな基底ケースを使用したため、単純な合計と同等のスピードを持つことがわかりました)。

Interval arithmetic とは

インターバル算術、区間数学、区間分析、または区間計算は、数学計算における丸め誤差および測定誤差の限界を定めるアプローチとして、信頼できる結果をもたらす数値的方法を開発するアプローチとして、1950年代および1960年代から数学者によって開発された方法です。非常に簡単に言えば、それは各価値を可能性の範囲として表しています。たとえば、標準的な算術を2.0メートルとして使用する人物の高さを推定するのではなく、インターバル算術を使用して、その人物が1.97メートルから2.03メートルの間のどこかにいると確信することができます。
このコンセプトは様々な目的に適しています。最も一般的な使用方法は、計算中に直接丸め誤差を追跡して処理し、物理的および技術的パラメータの正確な値を知る上での不確実性を追跡することです。後者は、多くの場合、構成要素の測定誤差および公差、または計算精度の限界のために生じる。インターバル算術演算は、方程式や最適化問題に対する信頼性が高く保証されたソリューションを見つけるのにも役立ちます。
数学的に、不確実な実数 x {\displaystyle x} を扱う代わりに x {\displaystyle x} を含む区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} の両端で作業します。区間演算では、任意の変数 x {\displaystyle x} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} の間にあります。 x {\displaystyle x} に適用されたときの関数 f {\displaystyle f} も不確実です。区間演算 f {\displaystyle f} では区間 [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} が生成されます。区間 [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} はすべての x [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} について f ( x ) {\displaystyle f(x)} のすべての可能な値です。

Gal’s accurate tables とは

ガルの正確なテーブルは、ルックアップテーブルと補間を使用して特殊関数の正確な値を提供するためにShmuel Galによって考案された方法です。これは、拡張精度演算を使用せずに、ほぼすべての引数値に対して、指数関数または三角関数などの関数の値を最終ビット精度内に生成するための、高速で効率的な方法です。
Galの正確な表の主な考え方は、計算される特殊関数の別の集計です。一般に、範囲はいくつかの部分範囲に分割され、それぞれに事前計算された値と補正式があります。関数を計算するには、最も近い点をルックアップし、距離の関数として補正を計算します。
Galのアイデアは等間隔の値をあらかじめ計算するのではなく、xとf(x)の両方が選択された数値形式でほぼ正確に表現できるように点xを摂動させることです。所望の値xの両側で約1000個の値を探索することにより、f(x)が±1/2000ビット未満の丸め誤差で表されるような値が見つかる。補正値が±1/2000ビットの精度で計算されている場合(これは、補正値が記憶値f(x)の1/2000未満である限り余分な浮動小数点精度を必要とせず、計算された補正値正確に半分のビット(難しい丸めの場合)から±1/1000ビット以上離れている場合、正確な関数値を切り上げるか下げるかがわかります。
この技術は、±1/1000最下位ビット、すなわち10の余分な精度ビット内まで関数値を計算する効率的な方法を提供する。この近似が、2つの表現可能な値の間のちょうど中間から±1/1000ビット以上(時間の2/1000、すなわち99.8%を除いてすべて起こる)であれば、正確に丸められた結果は明らかである。
拡張精度のフォールバックアルゴリズムと組み合わせることで、非常に合理的な平均時間で正確に丸められた結果を計算できます。
2/1000(0.2%)の場合、丸めの不確実性を解消するためにはより正確な関数の評価が必要ですが、平均的な計算時間にはほとんど影響を与えません。
最後のビットに正確な関数値を生成する問題は、テーブルメーカーのジレンマとして知られています。

De Casteljau’s algorithm とは

数値解析の数学分野では、De Casteljauのアルゴリズムは、発明者のPaul de Casteljauにちなんで名付けられたBernstein形式またはベジエ曲線の多項式を評価する再帰的な方法です。 De Casteljauのアルゴリズムを使用して、単一のベジエ曲線を任意のパラメータ値で2つのベジエ曲線に分割することもできます。
アルゴリズムは直接アプローチと比較してほとんどのアーキテクチャーでは遅くなりますが、数値的には安定しています。

CORDIC とは

Volderのアルゴリズムとも呼ばれるCORDIC(座標回転のDIgitalコンピュータ用)は、双曲線関数と三角関数を計算するための単純で効率的なアルゴリズムであり、一般的に反復ごとに1桁(またはビット)で収束します。
したがって、CORDICは、数字によるアルゴリズムの顕著な例でもあります。
CORDICおよび擬似乗算および擬似除算または係数結合として知られている密接に関連した方法は、ハードウェア乗算器が利用できない場合(たとえば、単純なマイクロコントローラおよびFPGAの場合)、加算、減算、ビットシフトおよびテーブルルックアップ。したがって、それらはシフト – アンド – 加算アルゴリズムのクラスに属する。

Closest point method とは

近接点法(CPM)は、表面上の偏微分方程式を解くための埋め込み方法です。近似点法は、表面上の元のPDEに等しい埋め込み偏微分方程式(PDE)を解くために、有限差分法、有限要素法またはスペクトル法などの標準的数値アプローチを使用する。この解は、計算上効率的であるために、表面を囲むバンド内で計算される。表面からデータを拡張するために、最近傍点法は最も近い点表現を用いる。この表現は、表面に垂直な方向に沿って関数値を一定に拡張します。