Triangular decomposition とは

コンピュータ代数では、多項式系Sの三角分解は、それがシステムS1、…、Seのうちの1つの解である場合に限り、点がSの解であるようなより単純な多項式系S1、 …、Se。
その目的が係数フィールドの代数的閉包におけるSの解集合を記述することである場合、これらのより単純なシステムは規則的な連鎖である。多項式系S1、…、Seの係数が実数である場合、Sの実際の解は、規則的な半代数系への三角分解によって得ることができる。どちらの場合も、これらのよりシンプルなシステムは、三角形の形状と顕著な特性を持ち、用語を正当化します。

Polylogarithmic function とは

nにおける多項式関数は、nの対数の多項式であり、
a k ( log n ) k + + a 1 ( log n ) + a 0 . {\displaystyle a_{k}(\log n)^{k}+\cdots +a_{1}(\log n)+a_{0}.}
コンピュータサイエンスでは、いくつかのアルゴリズム(例えば、「ポリロゴナルオーダー」を有する)によって使用される時間またはメモリのオーダーとして、ポリロ関数が生じる。
n {\displaystyle n} のすべての多項式関数は、すべての指数ε> 0(この記号の意味では小文字表記を参照)に対して o ( n ε ) {\displaystyle o(n^{\varepsilon })} であり、つまり、ポリロガル関数は任意の正の指数よりもゆっくりと成長する。この観測はソフトO表記υ(n)の基礎となる。

Polynomial identity testing とは

数学では、多項式同定テスト(PIT)は、2つの多変量多項式が同一かどうかを効率的に決定する問題です。より形式的には、PITアルゴリズムは、フィールド内の多項式pを計算し、pがゼロ多項式であるかどうかを決定する算術回路を与えられる。多項式同定テストに必要な計算量を決定することは、代数的計算の複雑さにおいて最も重要な未解決の問題の1つです。

System of polynomial equations とは

多項式方程式のシステムは、f1 = 0、…、fh = 0の連立方程式の集合である。ここで、fiはいくつかの変数、例えばx1、…、xnの多項式である。
通常、フィールドkは有理数のフィールドまたは有限フィールドのいずれかですが、理論の大半はどのフィールドにも適用されます。
解は、すべての方程式を真とし、kの代数的に閉じたフィールド拡張Kに属するxiの値の集合です。 kが有理数のフィールドであるとき、Kは複素数のフィールドです。

Polynomial long division とは

代数では、多項式の長除算は、多項式を同じかそれ以下の多項式で除算するためのアルゴリズムです。これは、長時間分割と呼ばれるおなじみの算術技法の一般化されたバージョンです。複雑な分割問題を小さな問題に分割するため、手作業で簡単に行うことができます。合成区分と呼ばれる簡略版を使用すると、書き込みが少なく、計算が少なくなることがあります。
多項式のlong divisionは、2つの多項式A(被除数)とB(除数)から始まり、Bがゼロでない場合、商Qと剰余Rを生成する多項式のユークリッド分裂を実装するアルゴリズムです。
A = BQ + R、
R = 0またはRの次数がBの次数よりも低い。これらの条件はQとRを一意的に定義する。つまり、QとRはそれらを計算するために使用される方法に依存しない。
結果R = 0は、多項式AがBを係数として持つ場合にのみ発生します。したがって、長い分割は、1つの多項式が別の多項式を要素として持つかどうかをテストする手段であり、そうであれば、それを分解するための手段です。例えば、Aの根rが分かっているならば、Aを(x-r)で割ることで因数分解することができる。

Factorization of polynomials とは

数学およびコンピュータ代数では、多項式の因数分解または多項式分解は、与えられたフィールドまたは同じドメイン内の係数を持つ既約因子の積としての整数で係数を持つ多項式を表現するプロセスです。多項式分解は、コンピュータ代数システムの基本ツールの1つです。
多項式分解の歴史は、1793年に最初の多項式分解アルゴリズムを記述したTheodor von Schubertと1882年にSchubertのアルゴリズムを再発見し、代数拡張の多変量多項式と係数に拡張したLeopold Kroneckerから始まります。しかし、このトピックに関する知識の大部分は、1965年頃以降ではなく、最初のコンピュータ代数システムでもありません。被験者の調査では、Erich Kaltofenは1982年に次のように書いています(以下の参考文献を参照)。
長く知られている有限ステップアルゴリズムが最初にコンピュータに置かれたとき、非常に非効率的であることが分かった。ほぼ100倍程度の程度の多変量多項式と、適度なサイズの係数(最大100ビット)を現代のアルゴリズムによってコンピュータ時間の数分で因数分解することができるという事実は、この問題がどのくらい成功裏に攻撃されたかを示します過去15年間
現在、現代のアルゴリズムおよびコンピュータは、数千桁の係数を有する1000以上の単変量多項式を迅速に因数分解することができる。

Synthetic division とは

代数では、合成分割は、多項式の長い除算で生じるよりも少ない書き込みと少ない計算で、多項式のユークリッド分裂を実行する方法です。これは、形式の二項式による除算のために主に教えられている
x a ,   {\displaystyle x-a,\ }
この方法は、任意のmonic多項式、および任意の多項式による除算に一般化される。
合成分割の利点は、変数を書き込むことなく計算できること、計算がほとんど不要であり、長い分割よりも紙面上のスペースが大幅に少なくなることです。また、長い除算での減算は、符号の誤りを防止しながら、符号を最初に切り替えることによって加算に変換される。
線形分母の合成分割は、ルフィニのルールによる除算とも呼ばれます。

Square-free polynomial とは

数学では、二乗自由多項式は、非単位因子の任意の二乗を係数としないフィールド(またはより一般的には、一意の分解領域)上で定義される多項式です。フィールドkに対する単変量多項式の重要なケースでは、これは正の次数の多項式 b k [ X ] {\displaystyle b\in k[X]} ごとに f k [ X ] {\displaystyle f\in k[X]} が正方形でないことを意味します。物理学および工学のアプリケーションでは、平方根のない多項式は一般に繰り返し根のない多項式と呼ばれます。このような多項式は分離可能と呼ばれますが、分離可能な完全なフィールドには平方がないものと同じです。
多項式の二乗自由分解または二乗自由因子分解は、二乗自由因子のべき乗への因子分解である
f = a 1 a 2 2 a 3 3 a n n = k = 1 n a k k {\displaystyle f=a_{1}a_{2}^{2}a_{3}^{3}\cdots a_{n}^{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{k}\,}
1と等しくないakのものは、対になるような二等辺三角形のない多項式である。あるフィールド内の係数を有する非ゼロ多項式はすべて、非ゼロ定数による係数の乗算まで一意的である平方自由因子分解を許容する。平方和のない因数分解は、既約因子への完全因数分解よりもはるかに計算が容易であり、部分分数分解と有理数分の象徴的統合に関しては、完全な因数分解が本当に必要でない場合にしばしば好ましい。平方自由因子分解は、コンピュータ代数システムで実施される多項式分解アルゴリズムの第一歩である。したがって、平方自由分解のアルゴリズムは、コンピュータ代数において基本的なものです。
1つのフィールド上の単変量多項式の場合、多項式の任意の複数の因子は、fおよびその形式的導関数f 'の自明でない共通因子を導入するので、fが正方形でないための十分な条件は、このようなフィールド上では、既約多項式はすべて分離可能であり、したがって、その導関数と相補的であるため、この条件は特性0のフィールドにわたって、またはより一般的には完全なフィールドにわたって必要である。
特性0の分野では、その微分を伴うGCDによる f {\displaystyle f} の商は、上記の平方自由分解における a i {\displaystyle a_{i}} の積である。非ゼロの特性pの完全なフィールドにわたって、この商は、iがpの倍数でないような a i {\displaystyle a_{i}} の積である。さらにGCDの計算と正確な除算を行うことで、平方和のない因子分解を計算することができます(無限因子分解を参照)。特徴的なゼロでは、より良いアルゴリズムが知られており、Yunのアルゴリズムが以下に説明される。その計算上の複雑さは、せいぜい、入力多項式とその派生物のGCD計算の2倍です。より正確には、 T n {\displaystyle T_{n}} が次数 n {\displaystyle n} の2つの多項式とGCDによるこれらの多項式の商のGCDを計算するのに必要な時間である場合、 2 T n {\displaystyle 2T_{n}} は平方根を計算するのに必要な時間の上限です分解。
多変量多項式の平方分解の計算のためのアルゴリズムも知られている。

Factorization of polynomials over finite fields とは

数学とコンピュータ代数では、多項式の因数分解は、それを既約因子の積に分解することからなる。この分解は理論的に可能であり、任意のフィールドの係数を有する多項式に対して一意であるが、むしろアルゴリズムの手段による分解の計算を可能にするために係数のフィールドに対する強い制限が必要である。実際には、アルゴリズムは有限体内の係数を有する多項式、有理数の分野またはそれらの1つの有限生成された場の拡張でのみ設計されている。
この記事の主題である有限体上の単変量多項式の因数分解の場合は、特に重要である。なぜなら、十分に効率的に実行されるすべてのアルゴリズム(有理数に対する多変量多項式の場合を含む)は、このケースに問題を減らしてください(多項式分解を参照)。また、符号理論(巡回冗長符号とBCH符号)、暗号(楕円曲線による公開鍵暗号)、計算数理論​​などの有限体の様々な応用にも興味深い。
多変量多項式の単変量多項式への分解は、有限体の係数の場合に特段の特質を持たないため、この記事では変数が1つの多項式のみを考慮する。

Wu’s method of characteristic set とは

Wenjun Wuの方法は、1970年代後半に中国の数学者Wen-Tsun Wuによって導入された多変量多項式を解くためのアルゴリズムです。この方法はJ.F.Rittによって1940年代後半に導入された特徴的な集合の数学的概念に基づいている。 Gröbner基底を用いて特性集合を計算することができたとしても、Bruno Buchberger(1965)によって導入されたGröbner基底法とは完全に独立している。
Wuの方法は、基本ジオメトリで証明されている機械的定理のために強力であり、特定のクラスの問題に対して完全な決定プロセスを提供します。彼の研究室(KLMM、中国科学アカデミーの数学機械の重要な研究室)および世界中の研究に使用されています。 Wuの方法に関する研究の主な傾向は、Rittの結果が有効になった正の次元と微分代数の多項式方程式のシステムに関する。 Wuの方法は、生物学、コンピュータビジョン、ロボットの運動学、特に幾何学的な自動証明のような様々な科学分野に応用されてきた