Biarc とは

ビアクルは、2つの円弧から形成される滑らかな曲線です。 biarcを滑らかにする(G1連続)ためには、2つの円弧が接する接続点で同じ接線を持つ必要があります。
Biarcsは、幾何学的モデリングとコンピュータグラフィックスでよく使用されます。ビアコールの2つの外側の端点を曲線に沿って配置し、曲線に一致する接線を使用して曲線に最も近似する中間点を選択することによって、スプラインやその他の平面曲線を近似することができます。この3つの点と2つの接線の選択は、唯一の円弧の対を決定し、これらの2つの円弧がbiarcを形成する中間点の軌跡そのものが円弧である。特に、このようにベジエ曲線を近似するには、ベリアル曲線の2つの端点とその2つの接線が接する点で形成される三角形の中心として、ビアークの中点を選択する必要があります。より一般的には、曲線をスムーズな一連のビアクックで近似することができます。シーケンス内でより多くのビアクラスを使用すると、概して、元の曲線に対する近似の近さが改善される。

Box spline とは

数値解析と近似理論の数学分野では、箱スプラインはいくつかの変数の区分的多項式関数です。ボックススプラインは、ベーススプライン(Bスプライン)の多変量一般化とみなされ、一般に多変量近似/補間に使用されます。幾何学的には、ボックススプラインは、下位次元の空間に投影された超立方体の影(X線)です。ボックススプラインとシンプレックススプラインは、一般的なポリトープの影として定義される多面体スプラインの特別なケースでよく研究されています。

Kochanek–Bartels spline とは

数学では、Kochanek-BartelsスプラインまたはKochanek-Bartels曲線は、接線の振る舞いを変えるように定義された張力、バイアス、および連続性パラメータを持つ3次エルミートスプラインです。
n + 1ノットを考えると、
p0、…、pn、
n個の3次エルミート曲線セグメントで補間されるように、各曲線について、開始点piと、開始接線diと終了接線di + 1とを有する終了点pi + 1とを有する
d i = ( 1 t ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) 2 ( p i p i 1 ) + ( 1 t ) ( 1 b ) ( 1 c ) 2 ( p i + 1 p i ) {\displaystyle \mathbf {d} _{i}={\frac {(1-t)(1+b)(1+c)}{2}}(\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{i-1})+{\frac {(1-t)(1-b)(1-c)}{2}}(\mathbf {p} _{i+1}-\mathbf {p} _{i})}
d i + 1 = ( 1 t ) ( 1 + b ) ( 1 c ) 2 ( p i + 1 p i ) + ( 1 t ) ( 1 b ) ( 1 + c ) 2 ( p i + 2 p i + 1 ) {\displaystyle \mathbf {d} _{i+1}={\frac {(1-t)(1+b)(1-c)}{2}}(\mathbf {p} _{i+1}-\mathbf {p} _{i})+{\frac {(1-t)(1-b)(1+c)}{2}}(\mathbf {p} _{i+2}-\mathbf {p} _{i+1})}
どこに…
各パラメータをゼロに設定すると、Catmull-Romスプラインが得られます。
1996年にSteve Noskowiczが見つけたソースコードは、これらの値のそれぞれが描かれた曲線に及ぼす影響を実際に示しています。
コードには、BASIC方言でこれらのスプラインを生成するために必要な行列要約が含まれています。

Cubic Hermite spline とは

数値解析では、3次エルミートスプラインまたは3次エルミート補間器は、各部分がエルミート形式で指定された3次多項式、すなわち、対応するドメイン間隔の終点におけるその値および1次導関数によってスプラインである。
キュービックエルミートスプラインは、通常、滑らかな連続関数を得るために、与えられた引数値 x 1 , x 2 , , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} で指定された数値データの補間に使用されます。データはそれぞれの x k {\displaystyle x_{k}} で所望の関数値と導関数から成ります。 (値のみが与えられていれば、それらから導関数を推定しなければならない。)エルミート式は各区間 ( x k , x k + 1 ) {\displaystyle (x_{k},x_{k+1})} に別々に適用される。結果のスプラインは連続しており、連続する一次導関数を持ちます。
立方体多項式スプラインは、他の方法で指定することができます。ベジエ形式が最も一般的です。しかし、これらの2つのメソッドは同じスプラインのセットを提供し、データはベジェとエルミートのフォーム間で簡単に変換できます。名前は同義語のようにしばしば使用されます。
三次元多項式スプラインは、平面または三次元空間の特定の点を通過する曲線または運動軌道を得るために、コンピュータグラフィックスおよび幾何学的モデル化において広く使用されている。これらのアプリケーションでは、平面または空間の各座標は、別々のパラメータtの3次スプライン関数によって別々に補間されます。立方体多項式スプラインは、オイラー – ベルヌーイ梁理論などの構造解析アプリケーションでも広く使用されています。
三次スプラインは、いくつかの点で2つ以上のパラメータの関数に拡張することができます。バイキュービックスプライン(バイキュービック補間)は、デジタル画像内のピクセル値や地形上の高度データなど、通常の長方形のグリッド上のデータを補間するためによく使用されます。 3つのバイキュービックスプラインによって定義される双三次の表面パッチは、コンピュータグラフィックスにおいて不可欠なツールです。
キュービックスプラインは、特にコンピューターグラフィックスでは、しばしばcsplinesと呼ばれます。エルミートスプラインはチャールズエルミートの名前を付けられています。

De Casteljau’s algorithm とは

数値解析の数学分野では、De Casteljauのアルゴリズムは、発明者のPaul de Casteljauにちなんで名付けられたBernstein形式またはベジエ曲線の多項式を評価する再帰的な方法です。 De Casteljauのアルゴリズムを使用して、単一のベジエ曲線を任意のパラメータ値で2つのベジエ曲線に分割することもできます。
アルゴリズムは直接アプローチと比較してほとんどのアーキテクチャーでは遅くなりますが、数値的には安定しています。

Interpolation (computer graphics) とは

コンピュータアニメーションのコンテキストでは、補間が行われているか、キーフレーム間にフレームを埋めています。これは一般に、(通常)区分的な多項式補間を使用してフレーム間を計算し、画像を半自動で描画します。
このタイプのすべてのアプリケーションでは、グラフィックアーティストによって「キーポイント」のセットが定義されます。これらの値は、空間または時間でかなり広く分離された値であり、望ましい結果を表しますが、非常に粗いステップでのみです。次に、計算された補間プロセスを使用して、これらのキーポイントの間に多数の新しい値を挿入し、「より滑らかな」結果を得る。
最も単純な形式では、これは2次元曲線の描画です。芸術家によって置かれたキーポイントは、コンピュータアルゴリズムによって使用され、これらの点を通るか、またはこれらの点の近くで滑らかな曲線を形成する。キーポイントによる2D補間の典型的な例については、カーディナルスプラインを参照してください。キーポイントの近くにある例については、不均一な有理Bスプラインまたはベジエ曲線を参照してください。これは、レーザー光のショーで使用されるような3次元曲線、形状、複雑で動的な芸術的パターンの形成にまで拡張されている。
プロセスは動作に拡張することができます。オブジェクトのパスは、いくつかの主要な場所を提供し、次に滑らかな動きのために複数の場所を計算することによって補間することができます。位置に加えて、速度または速度、ならびに経路に沿った加速度を計算して、現実の運動の動力学を模倣することができる。被写体が移動するには大きすぎるまたは複雑な場合、このプロセスによってカメラの位置および方向を移動することができます。この最後は、一般にモーションコントロールと呼ばれます。
更に、オブジェクト及びオブジェクトの一部の向き(回転)は、完全な文字の部分と同様に補間することができる。このプロセスは初期の漫画映画で使用されているものを模倣しています。マスターのアニメーターがフィルムのキーフレームを描くと、ジュニアアニメーターは中間のフレームを描きます。これは、中間またはトゥイーンと呼ばれ、全体的なプロセスは「キーフレームアニメーション」と呼ばれます。これらの動きを現実的に見せるために、実際の動きの動きのダイナミクスに従う、または近似する補間アルゴリズムが求められている。これは、フレームからフレームへの腕や足の動きや、顔の重要なポイントの動きを考慮して、顔のすべての部分の動きなどに適用されます。動物の周りに広がる髪の毛の動きを定義することは、完全な毛皮にすることができます。独自のアルゴリズムを使用して、ユニークで不自然で面白い視覚特性を持つモーションを形成することができます。オブジェクトの色は、オブジェクトの周りの滑らかな色勾配の計算を可能にするキーの色位置またはフレームによって定義することができ、または時間的に変化させることができる。 Kochanek-Bartelsスプラインなどのアルゴリズムでは、幅広い状況に合わせて中間の動作をカスタマイズできる追加の調整パラメータが用意されています。現在、トゥイーンに関する記事は、これらのいくつかを示しています。
この主題の別の重要な領域は、これらのアルゴリズムの計算上の負担です。実行時間の速いアルゴリズムは、これらの結果をより短時間で生成し、これらのプロジェクトをより迅速に完了させることを目指しています。アニメーション化された長編映画を製作するために解像度が向上するにつれて、処理量が大幅に増加する可能性がある。